モデリングと数値計算（主に化学工学向け）

化学反応、移動現象のモデリングと数値計算の話

管内流れの1次元移流方程式

はじめに

管内の流れを対象として次の1次元移流方程式を導出する。

$\displaystyle{ \frac{\partial c}{\partial t} + u \frac{\partial c}{\partial x} = 0 }$

導出

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気体混合物が図の管内を左から右へ流れているとする。気体混合物中のある成分Aについて、微小区間 $\Delta x$ における微小時間 $\Delta t$ の間の物質収支は、

(微小区間へのAの流入量) - (微小区間からのAの流出量) = (微小区間内のAの蓄積量)

と考えられる。ここでAの流量を $F$ [kg/s]、微小区間内の成分Aの量を $m$ [kg]として物質収支を数式で表すと下記となる（流量は管の半径方向に対し一定と考える)。

$\displaystyle{ F|_x \times \Delta t - F|_{x+\Delta x} \times \Delta t = m|_{t+\Delta t} - m|_t }$

両辺を $\Delta t$ および微小区間体積 $S \Delta x$ で割ると、

$\displaystyle{ \frac{1}{S} \frac{F|_x - F|_{x+\Delta x}}{\Delta x} = \frac{m|_{t+\Delta t}/(S\Delta x) - m|_t /(S\Delta x)}{\Delta t} }$

流量 $F$ を全ガス流量 $v$ [m3/s] と濃度 $c$ [kg/m3] の積 ( $vc$ ) に置き換え、また $m/(S\Delta x)$ は濃度 $c$ と等しいことを考慮すると上式は次式の通りに書き直せる。

$\displaystyle{ \frac{v}{S} \frac{c|_x - c|_{x+\Delta x}}{\Delta x} = \frac{c|_{t+\Delta t} - c|_t}{\Delta t} }$

空塔速度 $u=v/S$ [m/s]とし、 $\Delta x \rightarrow 0, \ \Delta t \rightarrow 0$ の極限をとると、

$\displaystyle{ -u \frac{\partial c}{\partial x} = \frac{\partial c}{\partial t} }$

式を整理すると下記となる。

$\displaystyle{ \frac{\partial c}{\partial t} + u \frac{\partial c}{\partial x} =0 }$

一次元移流方程式は初期の濃度の分布が速度uでその分布の形のまま運ばれていく様子を表す。この式単独で使うことはなく、拡散や反応など他の現象と組み合わせて使う。なおこの式を解いてもあまり実用性はないが、数値計算で解くのは非常にきびしい。解のイメージは下記が参考になる。

移流方程式の数値計算と可視化