1次元非定常熱伝導のモデリング - モデリングと数値計算（主に化学工学向け）

はじめに

円柱の１次元非定常熱伝導のモデリングを行う。（数値計算は別途）

円柱の1次元非定常熱伝導

円柱状のステンレス棒を均一に加温し、それを突如冷水の水槽に入れたときのステンレス棒の温度変化を考える。

熱収支

下に模式図を示す。棒はかなり長く、棒の両端の面からの熱の伝わりは無視できるものとする。

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このとき棒から長さ $L$ [m]の円柱を取り出し、その半径 $r$ [m]から半径 $r+\Delta r$ [m]のリング状の領域(灰色部分)の熱収支は次の関係で表される。

(リング内側からの入熱) − (リング外側への出熱) ＝ (リング内の熱の蓄積)

熱流束を $q$ [J/m2/s]、温度を $T$ [℃]として微小時間 $\Delta t$ [s] における熱収支を数式で表すと以下の形となる。

$q|_r (2\pi r L)\Delta t - q|_{r+\Delta r} \{2\pi (r+\Delta r) L\}\Delta t = (\rho C_p) (T|_{t+\Delta t} - T|_t) (2 \pi r L \Delta r)$

ここで $\rho$ はステンレス棒の密度 [kg/m3]、 $C_p$ はステンレス棒の比熱容量 [J/kg/℃]である。これを式変形していくと次の形に整理できる。

$\displaystyle{-\rho C_p \frac{T|_{t+\Delta t} - T|_t}{\Delta t} = \frac{q|_{r+\Delta r} - q|_r}{\Delta r} + \frac{1}{r}q|_{r+\Delta r}}$

$\Delta t \rightarrow 0$ 、 $\Delta r \rightarrow 0$ の極限を取ると次式となる。

$\displaystyle{ - \rho C_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial q}{\partial r} + \frac{1}{r}q }$

熱伝導の速度

熱流束 $q$ は次のフーリエの法則から表現されるものとする。

$\displaystyle{ q = - k \frac{\partial T}{\partial r} }$

$k$ は熱伝導率 [W/m/K] ([J/s/m/℃]と見てもよい)である。これを上の熱収支式に代入し、熱拡散率 $\alpha = k/(\rho C_p)$ とおくと、

$\displaystyle{ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \Bigl( \frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial r} \Bigr) }$

が得られる。初期条件、境界条件が決まれば温度 $T$ について方程式が解ける。

初期条件、境界条件

均一に温まった棒を急に冷水につける状況を考え、棒の表面は瞬間的に冷水温度になり、棒の中心の熱流束はゼロと考えると、初期条件、境界条件は以下の通りとなる。

$\begin{aligned} T = T_0 \quad &{\rm at} \quad t = 0 \\ T = T_1 \quad &{\rm at} \quad r = R \\ \frac{\partial T}{\partial r} = 0 \quad &{\rm at} \quad r = 0 \end{aligned}$

$T_0$ はステンレス棒の初期温度、 $T_1$ は冷水の温度、 $R$ はステンレス棒の半径で $r=R$ は棒の表面位置を示す。

解析解

この問題の解析解は、筆者には解けないので触れないが、知りたい方は下記書籍のChapter 12を参照されると良い。

Amazon | Transport Phenomena | Bird, R. Byron, Stewart, Warren E., Lightfoot, Edwin N. | Dynamics

和書なら、解き方は書いてないものの、解の説明が下記書籍の第5章に載っている。

道具としての微分方程式偏微分編式をつくり、解いて、「使える」ようになる (ブルーバックス) | 斎藤恭一 |本 | 通販 | Amazon

おわりに

円柱の1次元非定常熱伝導について偏微分方程式を導いた。次回はこの問題の数値計算に取り組み予定。