鉛直投げ上げの数値解法 - モデリングと数値計算（主に化学工学向け）

はじめに

高校物理で最初の方に習う物体の鉛直投げ上げをオイラー法で解く方法について記す。数値計算を使わなくても簡単に解ける問題であるが、数値計算の超基本的な考え方を確認するにはよいと思われる。解析解と数値解法を示し、解析解と数値解を比較してみる。

鉛直投げ上げの解析解

位置をz [m]、時刻をt[秒]とし、物体を鉛直（真上）に初速度 $v_0$ [m/s]で投げ上げたときの時刻tにおける物体の位置zを知りたいとする。重力による物体にかかる加速度は $-g$ [m/s $^2$ ]とする（真上方向を正として）。物体へかかる空気抵抗は無視するとして、物体の位置の時刻の関係は次の微分方程式で表される。

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これは変数分離形の微分方程式であり、初期条件を下記として、

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次のように解ける。

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これが時刻tにおける物体の位置zを表す解析解である。高校物理ではこの式が脈絡なく出てくるため、高校生の時はかなり混乱したものです。

数値解

オイラー法

雑に説明すれば、時刻tから僅かな時間が経過した時刻 $t+\Delta t$ の位置zを予想するのに、本来 $dz/dt$ の値は時刻tに従い連続的に変化するが微小時間 $\Delta t$ の間だけは一定値とみなして位置zの近似解を得る方法である。具体的には以下の通りにして時刻 $t+\Delta t$ と時刻 $t$ の位置zを関係付ける。

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なお、これは式変形すれば下記の形となり、 $\Delta t\rightarrow 0$ の極限を取れば微分の定義そのものである。

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初期(時刻 $t=0$ )の位置z(0)がわかっていれば、それを用いて $\Delta t$ 経過後の位置z(0+ $\Delta t$ )を算出し、さらにそれから $\Delta t$ 経過後の位置z(0+ $2\Delta t$ )を算出する、という形で順に位置zの近似値を計算していくことができる。